Opções de stock de simulação monte carlo

Simulação de Monte Carlo.
O que é a 'Simulação de Monte Carlo'?
Simulações de Monte Carlo são usadas para modelar a probabilidade de resultados diferentes em um processo que não pode ser facilmente previsto devido à intervenção de variáveis ​​aleatórias. É uma técnica usada para entender o impacto do risco e da incerteza nos modelos de previsão e previsão.
A simulação de Monte Carlo pode ser usada para resolver uma série de problemas em praticamente todos os campos, como finanças, engenharia, cadeia de suprimentos e ciência.
A simulação de Monte Carlo também é conhecida como simulação de probabilidade.
Tendência de Look-Ahead.
Modelagem Estocástica.
Teste de estresse.
Desvio padrão.
QUEBRANDO 'Simulação de Monte Carlo'
Quando confrontado com uma incerteza significativa no processo de fazer uma previsão ou estimativa, em vez de apenas substituir a variável incerta por um único número médio, a Simulação de Monte Carlo pode revelar-se uma solução melhor. Como os negócios e as finanças são afetados por variáveis ​​aleatórias, as simulações de Monte Carlo têm um vasto conjunto de aplicações potenciais nesses campos. Eles são usados ​​para estimar a probabilidade de excesso de custos em grandes projetos e a probabilidade de que o preço de um ativo se mova de determinada maneira. As telecomunicações usam-nas para avaliar o desempenho da rede em diferentes cenários, ajudando-os a otimizar a rede. Os analistas os usam para avaliar o risco de uma entidade padronizar e analisar derivativos, como opções. Seguradoras e perfuradores de poços de petróleo também os utilizam. As simulações de Monte Carlo têm inúmeras aplicações fora dos negócios e finanças, como em meteorologia, astronomia e física de partículas.
As simulações de Monte Carlo são nomeadas em homenagem ao ponto quente do jogo em Mônaco, uma vez que o acaso e os resultados aleatórios são centrais para a técnica de modelagem, assim como para jogos como roleta, dados e caça-níqueis. A técnica foi desenvolvida pela primeira vez por Stanislaw Ulam, um matemático que trabalhou no Projeto Manhattan. Após a guerra, enquanto se recuperava de uma cirurgia no cérebro, Ulam se entretinha jogando incontáveis ​​jogos de paciência. Ele se interessou em traçar o resultado de cada um desses jogos para observar sua distribuição e determinar a probabilidade de ganhar. Depois que ele compartilhou sua ideia com John Von Neumann, os dois colaboraram para desenvolver a simulação de Monte Carlo.
Simulações de Monte Carlo são modelos poderosos que, no espaço financeiro, podem ser usados ​​para prever o movimento dos preços dos ativos e informar melhor as decisões de investimento e negócios. Se você quer aprender sobre simulações de Monte Carlo e como construir outros modelos financeiros, confira o Curso de Modelagem Financeira da Investopedia Academy. Horas de conteúdo de classe sob demanda e prática de modelagem após a primeira aula.]
Modelagem de Preços de Ativos.
Uma maneira de empregar uma simulação de Monte Carlo é modelar possíveis movimentos de preços de ativos usando o Excel ou um programa similar. Existem dois componentes nos movimentos de preços de um ativo: o desvio, que é um movimento direcional constante, e um input aleatório, que representa a volatilidade do mercado. Ao analisar dados históricos de preços, você pode determinar o desvio, o desvio padrão, a variação e o movimento do preço médio de uma segurança. Estes são os blocos de construção de uma simulação de Monte Carlo.
Para projetar uma possível trajetória de preço, use os dados históricos de preços do ativo para gerar uma série de retornos diários periódicos usando o logaritmo natural (observe que essa equação difere da fórmula usual de alteração percentual):
retorno diário periódico = ln (preço do dia price preço do dia anterior)
Em seguida, use as funções AVERAGE, STDEV. P e VAR. P em toda a série resultante para obter as entradas médias de retorno diário, desvio padrão e variação, respectivamente. O desvio é igual a:
desvio = retorno diário médio - (variância ÷ 2)
Alternativamente, o desvio pode ser definido como 0; essa escolha reflete uma certa orientação teórica, mas a diferença não será enorme, pelo menos por períodos de tempo mais curtos.
Em seguida, obtenha uma entrada aleatória:
valor aleatório = desvio padrão * NORMSINV (RAND ())
A equação para o preço do dia seguinte é:
preço do dia seguinte = preço de hoje * e ^ (desvio + valor aleatório)
Para obter e para uma determinada potência x no Excel, use a função EXP: EXP (x). Repita este cálculo o número desejado de vezes (cada repetição representa um dia) para obter uma simulação do movimento futuro dos preços. Ao gerar um número arbitrário de simulações, você pode avaliar a probabilidade de que o preço de um título seguirá determinada trajetória. Aqui está um exemplo, mostrando cerca de 30 projeções para o estoque da Time Warner Inc (TWX) para o restante de novembro de 2015:
As freqüências de diferentes resultados gerados por esta simulação formarão uma distribuição normal, isto é, uma curva de sino. O retorno mais provável é no meio da curva, o que significa que há uma chance igual de que o retorno real seja maior ou menor que esse valor. A probabilidade de que o retorno real esteja dentro de um desvio padrão da taxa mais provável ("esperada") é de 68%; que estará dentro de dois desvios padrão é 95%; e que será dentro de três desvios padrão é de 99,7%. Ainda assim, não há garantia de que o resultado mais esperado ocorrerá, ou que os movimentos reais não excederão as projeções mais loucas.
Crucialmente, as simulações de Monte Carlo ignoram tudo o que não está embutido no movimento de preços (macro tendências, liderança da empresa, hype, fatores cíclicos); em outras palavras, eles assumem mercados perfeitamente eficientes. Por exemplo, o fato de a Time Warner ter baixado sua orientação para o ano em 4 de novembro não está refletido aqui, exceto no movimento dos preços naquele dia, o último valor nos dados; se esse fato fosse contabilizado, a maior parte das simulações provavelmente não preveria um aumento modesto no preço.

Opções de estoque de simulação Monte Carlo
A ideia aqui é muito simples. Nós dividimos o eixo do tempo em uma grade de tempos discretos 0, ∆ t, 2∆ t,. n ∆ t e calcule X t graças à seguinte fórmula recursiva.
X ∆ t · (i + 1) - X ∆ t · i = X ∆ t · i (r ∆ t + σ (W ∆ t · (i + 1) - W ∆ t · i))
W ∆ t · (i + 1) - W ∆ t · i é muito fácil de simular, pois segue uma lei gaussiana de variância centrada, t, independente do que foi simulado anteriormente.
Só é possível simular o processo nos momentos 0, ∆ t, 2∆ t,. n ∆ t. No entanto, o objeto teórico que queremos simular, um Movimento Geométrico Browniano, assume valores continuamente no intervalo [0, n ∆ t]. Podemos usar dois métodos para simular um objeto contínuo com valores discretos.
O primeiro método é chamado de regime de Euler constante por partes. Os valores são simulados e para qualquer ponto t em um intervalo] i ∆ t, (i + 1) [t [será considerado igual a X ∆ t · i.
As mais simples são as Opções de Baunilha: European Call an Put Option. Um convite europeu centra-se num determinado preço subjacente (Xt) t ∈ [0, T]. Ele tem dois parâmetros: sua data de vencimento T e seu Strike K. Essa opção entrega o payoff (X T - K) +, é igual a X T - K se X T - K & gt; 0, mais 0.
Uma opção de venda europeia entrega o retorno (K - X T) +
A Put pode ser usada para garantir que não se venda uma mercadoria com um preço abaixo de K.
Também é possível criar opções de barreira. Tais opções foram primeiro ditas exóticas porque tinham um retorno mais complexo. No entanto, hoje, eles são considerados muito padronizados pelos mercados.
O princípio é ter uma Opção como uma Call Europeia ou Put e dizer que ela entregará seu pagamento se e somente se o preço do subjacente estiver acima de uma certa barreira H (nesse caso a opção é Up e In) entre 0 e T. Nesse caso, a barreira ativa a opção.
Barreiras também podem desativar opções. Pode-se criar uma opção que irá entregar o seu pagamento se e somente se o preço no subjacente não ultrapassar uma determinada barreira.
Aqui está um exemplo de Up e In Put que é ativado por sua Barreira:
A definição do preço para uma determinada opção é um assunto não trivial. É dado pela Teoria da Não Arbitragem. O preço deve ser de tal forma que quase certamente não exista uma trajetória para a qual a diferença entre o preço pago (considerando as taxas de juros) e o payoff f (X T) seja zero. Isso quer dizer que com probabilidade 1, nenhum dinheiro pode ser feito usando qualquer inconsistência entre o preço da opção inicial que é pago e o pagamento final.
Essa noção de preço é bem diferente da de uma seguradora, por exemplo. Em um contexto de seguro, o preço da opção seria simplesmente o payoff médio, ou seja, E (X T), onde a probabilidade considerada é a histórica. Com o mercado de ações, as coisas não são as mesmas. A Técnica de Replicação permite que o vendedor controle sua exposição ao que terá que dar como recompensa no final.
No contexto da hipótese que formulamos sobre a dinâmica de preços, dXt = Xt (m dt + σdWt), essa teoria de precificação foi amplamente descrita por Black, Scholes e Merton. Este desenvolvimento deu a famosa fórmula Black and Scholes para o preço das opções.
Nessa estrutura, dar um preço a uma opção resume-se a encontrar a condição inicial no momento 0 da solução para a Equação Diferencial de Calor que fornece o payoff da opção como um estado terminal no tempo T. Em outras palavras, a questão de preço é totalmente depende da forma como o pagamento final é fornecido pelo vendedor.
No entanto, é possível provar que esse preço pode ser escrito como uma média: E (X T), com uma probabilidade que é a de Risco Neutro. Os eventos não são ponderados no cálculo da média por sua probabilidade histórica. O peso original é multiplicado por um valor que depende da trajetória simulada. Este valor é dado pelo teorema de Cameron-Martin. Isto é desenvolvido no documento pdf abaixo.
O ponto importante é que, se o cálculo se resume à estimativa de uma média, então os métodos de Monte Carlo podem ser usados.
O preço da opção Call pode ser feito com a estimativa de E ((X T - K) +) por exemplo. A precisão da estimativa depende de dois parâmetros. O número de etapas de discretização no Esquema de Euler e o número de trajetórias simuladas.
Richardson-Romberg A extrapolação é um método muito eficiente que melhora a precisão dos esquemas de discretização. Há menos viés no erro quadrático de Monte Carlo graças à extrapolação de Richardson-Romberg. Este método baseia-se em uma suposição apropriada sobre o desenvolvimento assintótico do erro de discretização.
Importância A amostragem é uma técnica diferente que depende de uma mudança de probabilidade e dá menos variação aos valores simulados. Menor variação significa um intervalo de confiança mais estreito quando o Teorema do Limite Central é aplicado. Nesse caso, menos simulações são necessárias para uma dada precisão desejada no preço.

Como usar a simulação de Monte Carlo com o GBM.
Uma das formas mais comuns de estimar o risco é o uso de uma simulação de Monte Carlo (MCS). Por exemplo, para calcular o valor em risco (VaR) de uma carteira, podemos executar uma simulação de Monte Carlo que tenta prever a pior perda provável para uma carteira, dado um intervalo de confiança ao longo de um horizonte de tempo especificado (sempre precisamos especificar dois condições para o VaR: confiança e horizonte).
Neste artigo, revisaremos um MCS básico aplicado ao preço de uma ação usando um dos modelos mais comuns em finanças: movimento Browniano geométrico (GBM). Portanto, enquanto a simulação de Monte Carlo pode se referir a um universo de diferentes abordagens para a simulação, começaremos aqui com o mais básico.
Onde começar.
Uma simulação de Monte Carlo é uma tentativa de prever o futuro muitas vezes. No final da simulação, milhares ou milhões de "testes aleatórios" produzem uma distribuição dos resultados que podem ser analisados. As etapas básicas são as seguintes:
1. Especifique um modelo (por exemplo, GBM)
Para este artigo, usaremos o movimento browniano geométrico (GBM), que é tecnicamente um processo de Markov. Isso significa que o preço da ação segue um passeio aleatório e é consistente com (no mínimo) a forma fraca da hipótese do mercado eficiente (EMH) - informações de preços anteriores já estão incorporadas, e o próximo movimento de preços é "condicionalmente independente" de movimentos de preços anteriores.
A fórmula para GBM é encontrada abaixo, onde "S" é o preço das ações, "m" (o grego mu) é o retorno esperado, "s" (sigma grego) é o desvio padrão dos retornos, "t" é o tempo, e "e" (grego epsilon) é a variável aleatória:
Se rearranjarmos a fórmula para resolver apenas a mudança no preço das ações, vemos que a GMB diz que a variação no preço das ações é o preço das ações "S" multiplicado pelos dois termos encontrados dentro dos parênteses abaixo:
O primeiro termo é um "desvio" e o segundo termo é um "choque". Para cada período de tempo, o nosso modelo assume que o preço irá "derivar" pelo retorno esperado. Mas o desvio será chocado (adicionado ou subtraído) por um choque aleatório. O choque aleatório será o desvio padrão "s" multiplicado por um número aleatório "e". Isto é simplesmente uma maneira de escalar o desvio padrão.
Essa é a essência do GBM, conforme ilustrado na Figura 1. O preço das ações segue uma série de etapas, em que cada etapa é um desvio mais ou menos um choque aleatório (em si uma função do desvio padrão da ação):
2. Gerar Provas Aleatórias.
Armado com uma especificação do modelo, nós então passamos a executar testes aleatórios. Para ilustrar, usamos o Microsoft Excel para executar 40 tentativas. Tenha em mente que esta é uma amostra pequena e irrealista; a maioria das simulações ou "sims" executa pelo menos vários milhares de tentativas.
Nesse caso, vamos supor que o estoque comece no dia zero com um preço de $ 10. Aqui está um gráfico do resultado em que cada etapa de tempo (ou intervalo) é um dia e a série dura dez dias (em resumo: quarenta tentativas com etapas diárias ao longo de dez dias):
O resultado são quarenta preços de ações simuladas ao final de 10 dias. Nada aconteceu abaixo de $ 9, e um está acima de $ 11.
3. Processar a saída.
A simulação produziu uma distribuição de resultados futuros hipotéticos. Nós poderíamos fazer várias coisas com a saída.
Se, por exemplo, queremos estimar o VaR com 95% de confiança, então só precisamos localizar o resultado do trigésimo oitavo lugar (o terceiro pior resultado). Isso porque 2/40 é igual a 5%, então os dois piores resultados estão nos 5% mais baixos.
Se empilharmos os resultados ilustrados em caixas (cada caixa é um terço de US $ 1, então três caixas cobrem o intervalo de US $ 9 a US $ 10), obteremos o seguinte histograma:
Lembre-se que nosso modelo de GBM assume normalidade; retornos de preços são normalmente distribuídos com retorno esperado (média) "m" e desvio padrão "s". Curiosamente, nosso histograma não parece normal. De fato, com mais tentativas, não tenderá à normalidade. Em vez disso, tenderá a uma distribuição lognormal: uma queda acentuada para a esquerda da média e uma "cauda longa" altamente inclinada para a direita da média.
Isso geralmente leva a uma dinâmica potencialmente confusa para os alunos iniciantes:
Os retornos de preço são normalmente distribuídos. Os níveis de preços são distribuídos normalmente por log.
Pense desta forma: uma ação pode retornar para cima ou para baixo em 5% ou 10%, mas depois de um certo período de tempo, o preço das ações não pode ser negativo. Além disso, os aumentos de preços no lado positivo têm um efeito de composição, enquanto as reduções de preços reduzem a base: perdem 10% e você fica com menos para perder na próxima vez.
Aqui está um gráfico da distribuição lognormal sobreposta às nossas suposições ilustradas (por exemplo, preço inicial de $ 10):
The Bottom Line.
Uma simulação de Monte Carlo aplica um modelo selecionado (que especifica o comportamento de um instrumento) a um grande conjunto de ensaios aleatórios, na tentativa de produzir um conjunto plausível de possíveis resultados futuros. Em relação à simulação dos preços das ações, o modelo mais comum é o movimento Browniano geométrico (GBM). O GBM assume que um desvio constante é acompanhado por choques aleatórios. Enquanto os retornos do período em GBM são normalmente distribuídos, os níveis de preços consequentes de vários períodos (por exemplo, dez dias) são lognormalmente distribuídos.

Monte Carlo vs Black-Scholes.
A FAS Solutions está pronta para realizar avaliações das opções de ações para funcionários de nossos clientes que incorporam rigorosamente os detentores de opções & # 8217; comportamento de exercício, rescisões, volatilidade esperada, rendimento de dividendos esperado, custo de capital e taxas de juros. A flexibilidade e o rigor do nosso trabalho de avaliação integrado é incomparável.
Nossa prática de avaliação inclui Black-Scholes, simulação de Monte Carlo e modelagem de Lattice que personalizamos para cada cliente de avaliação. Em todos os casos, incorporamos análises de comportamento de exercício, modelagem de término e volatilidade, rendimento de dividendos e custo de sensibilidade de capital para cada cliente. Os modelos de opções de ações da Lattice há muito se mostraram incapazes de capturar com precisão o valor das opções de ações dos funcionários, mas e os valores de Black Scholes e Monte Carlo?
A simulação de Monte Carlo baseada em intensidade fornece o valor “verdadeiro” de uma opção de ações para funcionários. No entanto, a maioria dos nossos clientes usa o Black-Scholes, que é a “melhor” prática há muito estabelecida. O diagrama a seguir mostra o delta entre Monte Carlo e uma avaliação Black Scholes comparável para uma variedade de estruturas de pressupostos:
Apesar do delta entre o valor real e as melhores práticas, nossos clientes utilizam a metodologia de prazo esperado de Monte Carlo baseada em intensidade para obter uma avaliação Black-Scholes muito próxima do valor justo da opção de compra Monte Carlo. Somos os pioneiros nesta metodologia de Black-Scholes com prazo esperado de Monte Carlo e acreditamos que desenvolvemos o conjunto de dados mais amplo e abrangente do exercício de opção de ações entre empresas do mundo.

Simulação de Monte Carlo.
Esta ferramenta online de simulação de Monte Carlo fornece um meio de testar o crescimento esperado da carteira a longo prazo e a sobrevivência da carteira com base em levantamentos, por exemplo, testando se a carteira pode sustentar as retiradas planejadas exigidas para aposentadoria ou por um fundo de dotação. Os seguintes modelos de simulação são suportados para retornos de portfólio:
Retornos Históricos - Simular retornos futuros selecionando aleatoriamente os retornos para cada ano com base nos retornos históricos disponíveis. Retornos Estatísticos - Simular retornos futuros com base na média, volatilidade e correlações das carteiras ativos Retornos Previstos - Simular retornos futuros com base em qualquer média prevista e desvio padrão Retornos Parametrizados - Simular retornos futuros com base na distribuição estatística especificada.
Você pode escolher entre vários modelos de retirada diferentes, incluindo:
Remuneração ou contribuição anual fixa - Aplicar uma retirada ou contribuição anual fixa. Os ajustes anuais de inflação são realizados por padrão para o valor de retirada ou contribuição especificado com base no modelo selecionado. Percentual anual fixo - Retirar uma porcentagem fixa do saldo da carteira anualmente. Esse modelo garante que o portfólio nunca se esgote, mas o valor do gasto anual varia de acordo com o crescimento da carteira. A retirada baseada em porcentagem pode ser suavizada usando a média do portfólio de rolagem ou uma regra de gasto geométrica. Retirada anual baseada na expectativa de vida - Esse modelo retira uma porcentagem variável do saldo da carteira com base na expectativa de vida. Esta é a abordagem de RMD, em que a porcentagem de retirada é 1 / Expectativa de Vida. Sequência personalizada - Importe uma sequência personalizada de fluxos de caixa periódicos de um arquivo.
Para simular vários estágios, como carreira e aposentadoria, com metas detalhadas de fluxo de caixa, use a ferramenta de planejamento de Metas Financeiras.